선형 대수 예제

$y = \sqrt{\ln (\frac{4 - x}{x - 2})}$

단계 1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\ln (\frac{4 - x}{x - 2})$ 의 진수를 $0$ 보다 크게 설정해야 합니다.

$\frac{4 - x}{x - 2} > 0$

단계 2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.1

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$4 - x = 0$

$x - 2 = 0$

단계 2.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$- x = - 4$

단계 2.3

$- x = - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.1

$- x = - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

단계 2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

단계 2.3.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 4}{- 1}$

단계 2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.3.3.1

$- 4$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 4$

단계 2.4

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 2.5

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 4$

$x = 2$

단계 2.6

해를 하나로 합합니다.

$x = 4, 2$

단계 2.7

$\frac{4 - x}{x - 2}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.7.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{4 - x}{x - 2}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x - 2 = 0$

단계 2.7.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 2.7.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

단계 2.8

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

단계 2.9

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.1

$x < 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.1.1

$x < 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 2.9.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{4 - (0)}{(0) - 2} > 0$

단계 2.9.1.3

좌변 $- 2$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 2.9.2

$2 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.2.1

$2 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 3$

단계 2.9.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $3$ 로 치환합니다.

$\frac{4 - (3)}{(3) - 2} > 0$

단계 2.9.2.3

좌변 $1$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 2.9.3

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 2.9.3.1

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 2.9.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$\frac{4 - (6)}{(6) - 2} > 0$

단계 2.9.3.3

좌변 $- 0.5$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 2.9.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < 2$ 거짓

$2 < x < 4$ 참

$x > 4$ 거짓

$x < 2$ 거짓

$2 < x < 4$ 참

$x > 4$ 거짓

단계 2.10

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$2 < x < 4$

단계 3

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\sqrt{\ln (\frac{4 - x}{x - 2})}$ 의 피개법수를 $0$ 보다 크거나 같게 설정해야 합니다.

$\ln (\frac{4 - x}{x - 2}) \geq 0$

단계 4

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.1

부등식을 방정식으로 바꿉니다.

$\ln (\frac{4 - x}{x - 2}) = 0$

단계 4.2

식을 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.1

로그의 정의를 이용하여 $\ln (\frac{4 - x}{x - 2}) = 0$ 을 지수 형태로 바꿔 씁니다. 만약 $x$ 와 $b$ 가 양의 실수이고 $b$ $\neq$ $1$ 이면 $\log_{b} (x) = y$ 는 $b^{y} = x$ 와 같습니다.

$e^{0} = \frac{4 - x}{x - 2}$

단계 4.2.2

교차 곱하기를 이용하여 분수를 없앱니다.

$4 - x = e^{0} (x - 2)$

단계 4.2.3

$e^{0} (x - 2)$ 을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.3.1

괄호를 제거합니다.

$4 - x = e^{0} (x - 2)$

단계 4.2.3.2

모든 수의 $0$ 승은 $1$ 입니다.

$4 - x = 1 (x - 2)$

단계 4.2.3.3

$x - 2$ 에 $1$ 을 곱합니다.

$4 - x = x - 2$

단계 4.2.4

$x$ 을 포함하는 모든 항을 방정식의 좌변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.4.1

방정식의 양변에서 $x$ 를 뺍니다.

$4 - x - x = - 2$

단계 4.2.4.2

$- x$ 에서 $x$ 을 뺍니다.

$4 - 2 x = - 2$

단계 4.2.5

$4 - 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.5.1

$4$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (2) - 2 x = - 2$

단계 4.2.5.2

$- 2 x$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (2) + 2 (- x) = - 2$

단계 4.2.5.3

$2 (2) + 2 (- x)$ 에서 $2$ 를 인수분해합니다.

$2 (2 - x) = - 2$

단계 4.2.6

$2 (2 - x) = - 2$ 의 각 항을 $2$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.6.1

$2 (2 - x) = - 2$ 의 각 항을 $2$ 로 나눕니다.

$\frac{2 (2 - x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

단계 4.2.6.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.6.2.1

$2$ 의 공약수로 약분합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.6.2.1.1

공약수로 약분합니다.

$\frac{2 (2 - x)}{2} = \frac{- 2}{2}$

단계 4.2.6.2.1.2

$2 - x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$2 - x = \frac{- 2}{2}$

단계 4.2.6.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.6.3.1

$- 2$ 을 $2$ 로 나눕니다.

$2 - x = - 1$

단계 4.2.7

$x$ 를 포함하지 않은 모든 항을 방정식의 우변으로 옮깁니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.7.1

방정식의 양변에서 $2$ 를 뺍니다.

$- x = - 1 - 2$

단계 4.2.7.2

$- 1$ 에서 $2$ 을 뺍니다.

$- x = - 3$

단계 4.2.8

$- x = - 3$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.8.1

$- x = - 3$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 3}{- 1}$

단계 4.2.8.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.8.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 3}{- 1}$

단계 4.2.8.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 3}{- 1}$

단계 4.2.8.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.2.8.3.1

$- 3$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 3$

단계 4.3

$\ln (\frac{4 - x}{x - 2})$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.1

식이 정의된 지점을 알아내려면 $\ln (\frac{4 - x}{x - 2})$ 의 진수를 $0$ 보다 크게 설정해야 합니다.

$\frac{4 - x}{x - 2} > 0$

단계 4.3.2

$x$ 에 대해 풉니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.1

모든 인수가 $0$ 이 되도록 인수식을 풀어서 수식의 부호가 음수에서 양수로 바뀌는 모든 값을 찾습니다.

$4 - x = 0$

$x - 2 = 0$

단계 4.3.2.2

방정식의 양변에서 $4$ 를 뺍니다.

$- x = - 4$

단계 4.3.2.3

$- x = - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나누고 식을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.3.1

$- x = - 4$ 의 각 항을 $- 1$ 로 나눕니다.

$\frac{- x}{- 1} = \frac{- 4}{- 1}$

단계 4.3.2.3.2

좌변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.3.2.1

두 음수를 나누면 양수가 나옵니다.

$\frac{x}{1} = \frac{- 4}{- 1}$

단계 4.3.2.3.2.2

$x$ 을 $1$ 로 나눕니다.

$x = \frac{- 4}{- 1}$

단계 4.3.2.3.3

우변을 간단히 합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.3.3.1

$- 4$ 을 $- 1$ 로 나눕니다.

$x = 4$

단계 4.3.2.4

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 4.3.2.5

각 인수에 대해 식을 풀어 절댓값 식이 음에서 양으로 가는 값을 구합니다.

$x = 4$

$x = 2$

단계 4.3.2.6

해를 하나로 합합니다.

$x = 4, 2$

단계 4.3.2.7

$\frac{4 - x}{x - 2}$ 의 정의역을 구합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.7.1

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{4 - x}{x - 2}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x - 2 = 0$

단계 4.3.2.7.2

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 4.3.2.7.3

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(- \infty, 2) \cup (2, \infty)$

단계 4.3.2.8

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < 2$

$2 < x < 4$

$x > 4$

단계 4.3.2.9

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.9.1

$x < 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.9.1.1

$x < 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 4.3.2.9.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\frac{4 - (0)}{(0) - 2} > 0$

단계 4.3.2.9.1.3

좌변 $- 2$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 4.3.2.9.2

$2 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.9.2.1

$2 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 3$

단계 4.3.2.9.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $3$ 로 치환합니다.

$\frac{4 - (3)}{(3) - 2} > 0$

단계 4.3.2.9.2.3

좌변 $1$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 4.3.2.9.3

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.3.2.9.3.1

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 4.3.2.9.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$\frac{4 - (6)}{(6) - 2} > 0$

단계 4.3.2.9.3.3

좌변 $- 0.5$ 이 우변 $0$ 보다 크지 않으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 4.3.2.9.4

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < 2$ 거짓

$2 < x < 4$ 참

$x > 4$ 거짓

$x < 2$ 거짓

$2 < x < 4$ 참

$x > 4$ 거짓

단계 4.3.2.10

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$2 < x < 4$

단계 4.3.3

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{4 - x}{x - 2}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x - 2 = 0$

단계 4.3.4

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 4.3.5

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

$(2, 4)$

단계 4.4

각 근을 사용하여 시험 구간을 만듭니다.

$x < 2$

$2 < x < 3$

$3 < x < 4$

$x > 4$

단계 4.5

각 구간에서 실험값을 선택하고 이를 원래의 부등식에 대입하여 어느 구간이 부등식을 만족하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1

$x < 2$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1.1

$x < 2$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 0$

단계 4.5.1.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $0$ 로 치환합니다.

$\ln (\frac{4 - (0)}{(0) - 2}) \geq 0$

단계 4.5.1.3

부등식이 참인지 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.1.3.1

방정식이 정의되지 않으므로 풀 수 없습니다.

$정의되지 않음$

단계 4.5.1.3.2

좌변의 해가 없으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 4.5.2

$2 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.2.1

$2 < x < 3$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 2.5$

단계 4.5.2.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $2.5$ 로 치환합니다.

$\ln (\frac{4 - (2.5)}{(2.5) - 2}) \geq 0$

단계 4.5.2.3

좌변 $1.09861228$ 가 우변 $0$ 보다 크므로 주어진 명제는 항상 참입니다.

참

단계 4.5.3

$3 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.3.1

$3 < x < 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 3.5$

단계 4.5.3.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $3.5$ 로 치환합니다.

$\ln (\frac{4 - (3.5)}{(3.5) - 2}) \geq 0$

단계 4.5.3.3

좌변 $- 1.09861228$ 이 우변 $0$ 보다 작으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 4.5.4

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 시험하여 이 값이 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.4.1

$x > 4$ 구간에서 하나의 값을 선택하고 이 값이 원래의 부등식을 참이 되게 하는지 확인합니다.

$x = 6$

단계 4.5.4.2

원래 부등식에서 $x$ 를 $6$ 로 치환합니다.

$\ln (\frac{4 - (6)}{(6) - 2}) \geq 0$

단계 4.5.4.3

부등식이 참인지 판단합니다.

자세한 풀이 단계를 보려면 여기를 누르십시오...

단계 4.5.4.3.1

방정식이 정의되지 않으므로 풀 수 없습니다.

$정의되지 않음$

단계 4.5.4.3.2

좌변의 해가 없으므로 주어진 명제는 거짓입니다.

거짓

단계 4.5.5

구간을 비교하여 원래의 부등식을 만족하는 구간을 찾습니다.

$x < 2$ 거짓

$2 < x < 3$ 참

$3 < x < 4$ 거짓

$x > 4$ 거짓

$x < 2$ 거짓

$2 < x < 3$ 참

$3 < x < 4$ 거짓

$x > 4$ 거짓

단계 4.6

해는 모두 참인 구간으로 이루어져 있습니다.

$2 < x \leq 3$

단계 5

식이 정의되지 않은 지점을 알아내려면 $\frac{4 - x}{x - 2}$ 의 분모를 $0$ 와 같게 설정해야 합니다.

$x - 2 = 0$

단계 6

방정식의 양변에 $2$ 를 더합니다.

$x = 2$

단계 7

정의역은 수식을 정의하는 모든 유효한 $x$ 값입니다.

구간 표기:

$(2, 3]$

조건제시법:

${x | 2 < x \leq 3}$

단계 8